2010학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수리 영역 나형 9번

그림과 같이 원점 $O$를 지나고 기울기가 $\sqrt3$인 직선 $l_1$과 점 $A(0,4)$가 있다. 점 $O$를 중심으로 하고 선분 $OA$를 반지름으로 하는 원이 직선 $l_1$과 제1사분면에서 만나는 점을 $O_1$이라 하자. 점 $O_1$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $O_2$라 하자. 점 $O_1$을 중심으로 하고 선분 $O_1O_2$를 반지름으로 하는 원이 선분 $OO_1$과 만나는 점을 $A_1$이라 하자. 선분 $A_1O_1$, 선분 $O_1O_2$, 호 $O_2A_1$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_1$이라 하자. 점 $O_2$를 중심으로 하고 선분 $O_1O_2$를 반지름으로 하는 원이 점 $O_2$를 지나고 직선 $l_1$에 평행한 직선 $l_2$와 제1사분면에서 만나는 점을 $O_3$이라 하자. 점 $O_3$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $O_4$라 하자. 점 $O_3$을 중심으로 하고 선분 $O_3O_4$를 반지름으로 하는 원이 선분 $O_2O_3$과 만나는 점을 $A_2$라 하자. 선분 $A_2O_3$, 선분 $O_3O_4$, 호 $O_4A_2$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_2$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 도형의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\sum_{n=1}^{\infty}S_n$의 값은? [3점]