빨간띠 4기출문제

2010학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수리 영역 나형 15번

다음은 $n\ge2$ 인 자연수일 때 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\binom nk^2$ 의 값을 구하는 과정이다.

두 다항식의 곱 $(a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1})(b_0+b_1x+\cdots+b_nx^n)$ 에서 $x^{n-1}$ 의 계수는 $a_0b_{n-1}+a_1b_{n-2}+\cdots+a_{n-1}b_0$ 이다. 등식 $(1+x)^{2n-1}=(1+x)^{n-1}(1+x)^n$ 의 좌변에서 $x^{n-1}$ 의 계수는 (가)이고, 이 식을 이용하여 우변에서 $x^{n-1}$ 의 계수를 구하면 $\displaystyle\sum_{k=1}^n$ ( $\binom{n-1}{k-1}\times$ (나))이다. 따라서 (가)는 위 합과 같다.

한편 $1\le k\le n$ 일 때 $k\binom nk=n\binom{n-1}{k-1}$ 이므로 $\displaystyle\sum_{k=1}^nk\binom nk^2=\sum_{k=1}^n ($ $n\binom{n-1}{k-1}\times$ (나)) $=n\sum_{k=1}^n ($ $\binom{n-1}{k-1}\times$ (나)) $=$ (다)이다.