2010학년도 대학수학능력시험 수리 영역 나형 12번

증명

(1) $n=1$일 때, $\text{(좌변)}=\frac{\binom10}{\binom50}+\frac{\binom11}{\binom51}=\frac65,\quad\text{(우변)}=\frac{1+5}{5}=\frac65$이므로 주어진 등식은 성립한다.

(2) $n=m$일 때 등식이 성립한다고 가정하자. $n=m+1$일 때,

$\displaystyle\sum_{k=0}^{m+1}\frac{\binom{m+1}{k}}{\binom{m+5}{k}}=(\text{가})+\displaystyle\sum_{k=0}^{m}\frac{\binom{m+1}{k+1}}{\binom{m+5}{k+1}}$이다. 자연수 $l$에 대하여 $\binom{l+1}{k+1}=(\text{나})\binom{l}{k}\quad(0\le k\le l)$이므로

$\displaystyle\sum_{k=0}^{m}\frac{\binom{m+1}{k+1}}{\binom{m+5}{k+1}}=(\text{다})\displaystyle\sum_{k=0}^{m}\frac{\binom{m}{k}}{\binom{m+4}{k}}$이다. 따라서 위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 고르시오. [3점]