2010학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수리 영역 가형 공통 21번

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 양수 x에 대하여 $\int_0^x(x-t)\{f(t)\}^2dt=6\int_0^1x^3(x-t)^2dt$를 만족시킨다. 곡선 $y=f(x)$와 직선 $x=1,\text{x축},\text{y축}$으로 둘러싸인 도형을 x축 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피가 $a\pi$일 때, a의 값을 구하시오.

[4점]