2010학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수리 영역 나형 17번

자연수 $n$에 대하여 점 $A_n$이 함수 $y=4^x$의 그래프 위의 점일 때, 점 $A_{n+1}$을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) 점 $A_1$의 좌표는 $(a,4^a)$이다.

(나) (1) 점 $A_n$을 지나고 $x$축에 평행한 직선이 직선 $y=2x$와 만나는 점을 $P_n$이라 한다.
(2) 점 $P_n$을 지나고 $y$축에 평행한 직선이 곡선 $y=\log_4x$와 만나는 점을 $B_n$이라 한다.
(3) 점 $B_n$을 지나고 $x$축에 평행한 직선이 직선 $y=2x$와 만나는 점을 $Q_n$이라 한다.
(4) 점 $Q_n$을 지나고 $y$축에 평행한 직선이 곡선 $y=4^x$와 만나는 점을 $A_{n+1}$이라 한다.

점 $A_n$의 $x$좌표를 $x_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}x_n$의 값은? [4점]